वक्र y=x^3, (1,1) पर इसकी स्पर्श रेखा और X-अक | vedclass

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Question

(A) हमारे पास वक्र $y=x^{3}$ और बिंदु $A(1,1)$ है।सबसे पहले, हम वक्र के समीकरण का अवकलन करके $A(1,1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करते हैं:$\frac{dy}{

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$\frac{1}{12} 	ext{ वर्ग इकाई}$

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(A) हमारे पास वक्र $y=x^{3}$ और बिंदु $A(1,1)$ है।सबसे पहले, हम वक्र के समीकरण का अवकलन करके $A(1,1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करते हैं:$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$.$x=1$ पर, ढाल $m = 3(1)^{2} = 3$ है।$(1,1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-1 = 3(x-1)$ है, जिसे सरल करने पर $y = 3x-2$ प्राप्त होता है।स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को जहाँ काटती है वहाँ $y=0$ होता है, इसलिए $3x-2=0$, जिससे $x = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।आवश्यक क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक वक्र $y=x^{3}$ के नीचे का क्षेत्रफल है, जिसमें से $x=\frac{2}{3}$ से $x=1$ तक स्पर्श रेखा $y=3x-2$ के नीचे का क्षेत्रफल घटाना है।$	ext{आवश्यक क्षेत्रफल} = \int_{0}^{1} x^{3} dx - \int_{2/3}^{1} (3x-2) dx$$= \left[ \frac{x^{4}}{4} ight]_{0}^{1} - \left[ \frac{3x^{2}}{2} - 2x ight]_{2/3}^{1}$$= \left( \frac{1}{4} - 0 ight) - \left[ \left( \frac{3}{2} - 2 ight) - \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} - 2 \cdot \frac{2}{3} ight) ight]$$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} - \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{3} ight) ight]$$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} - \left( -\frac{2}{3} ight) ight]$$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} ight]$$= \frac{1}{4} - \left[ \frac{-3+4}{6} ight] = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12} 	ext{ वर्ग इकाई}$.

वक्र $y=x^3$, $(1,1)$ पर इसकी स्पर्श रेखा और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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वक्र $y=x|x|$,रेखाओं $x=-1$ और $x=1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल . . . . . . है।

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