एक वक्र y = f(x) के बिंदु (x, f(x)) पर स्पर्श | vedclass

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Question

(A) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$ दी गई है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$y = \int (2x + 1) dx = x^2 + x + C$.चूंकि वक्र

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$\frac{5}{6}$

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(A) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$ दी गई है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$y = \int (2x + 1) dx = x^2 + x + C$.चूंकि वक्र बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,$x = 1$ और $y = 2$ रखने पर:$2 = (1)^2 + 1 + C \Rightarrow 2 = 2 + C \Rightarrow C = 0$.अतः,वक्र का समीकरण $y = x^2 + x$ है।यह क्षेत्र वक्र $y = x^2 + x$,$x$-अक्ष $(y = 0)$ और रेखा $x = 1$ द्वारा परिबद्ध है। वक्र $x$-अक्ष को $x^2 + x = 0$ पर काटता है,जिससे $x(x + 1) = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = 0$ और $x = -1$। वक्र,$x$-अक्ष और रेखा $x = 1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र अंतराल $[0, 1]$ में है।आवश्यक क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} (x^2 + x) dx$$= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$$= \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) - (0 + 0) = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6}$.अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

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