x=y^2-2 और x=y वक्रों द्वारा घिरे क्षेत्र का | vedclass

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Question

(C) दिए गए वक्र $x=y^2-2$ और $x=y$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम $x=y$ को $x=y^2-2$ में प्रतिस्थापित करते हैं:$y = y^2 - 2$$y^2 - y - 2

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$\frac{9}{2}$

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(C) दिए गए वक्र $x=y^2-2$ और $x=y$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम $x=y$ को $x=y^2-2$ में प्रतिस्थापित करते हैं:$y = y^2 - 2$$y^2 - y - 2 = 0$$(y-2)(y+1) = 0$अतः, $y=2$ और $y=-1$ प्राप्त होते हैं।जब $y=2$ है, तो $x=2$ और जब $y=-1$ है, तो $x=-1$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1)$ और $(2, 2)$ हैं।क्षेत्रफल $A$, $y=-1$ से $y=2$ तक दाईं ओर के वक्र से बाईं ओर के वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:$A = \int_{-1}^{2} (y - (y^2 - 2)) \, dy$$A = \int_{-1}^{2} (y - y^2 + 2) \, dy$$A = \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} + 2y \right]_{-1}^{2}$$A = \left( \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} - \frac{(-1)^3}{3} + 2(-1) \right)$$A = \left( 2 - \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 2 \right)$$A = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3+2-12}{6} \right)$$A = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ वर्ग इकाई।

$x=y^2-2$ और $x=y$ वक्रों द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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क्षेत्र $\{(x, y): x^2 \leq y \leq 8-x^2, y \leq 7\}$ का क्षेत्रफल है

क्षेत्र $\{(x, y): 0 \leq y \leq x^{2}+1, 0 \leq y \leq x+1, \frac{1}{2} \leq x \leq 2\}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

क्षेत्र $A = \{(x, y) : x^2 \le y \le x + 2\}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

दो परवलयों $y=x^{2}$ और $y^{2}=x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रथम चतुर्थांश में परवलय $y^2=x$ और रेखा $x+y=2$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल है

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