प्रथम चतुर्थांश में वक्रों y=sin ^{-1} x+x(1- | vedclass

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Question

(C) फलन $y = \sin^{-1} x$, $-1 \leq x \leq 1$ के लिए परिभाषित है। प्रथम चतुर्थांश में, $0 \leq x \leq 1$ है। चूँकि $x \in [0, 1]$ के लिए $x(1-x) \geq

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$\frac{1}{3}$

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(C) फलन $y = \sin^{-1} x$, $-1 \leq x \leq 1$ के लिए परिभाषित है। प्रथम चतुर्थांश में, $0 \leq x \leq 1$ है। चूँकि $x \in [0, 1]$ के लिए $x(1-x) \geq 0$ है, इसलिए वक्र $y_1 = \sin^{-1} x + x(1-x)$, वक्र $y_2 = \sin^{-1} x - x(1-x)$ के ऊपर स्थित है। प्रतिच्छेदन बिंदु $y_1 = y_2$ रखने पर प्राप्त होते हैं, जो $2x(1-x) = 0$ देता है, जिसका अर्थ है $x = 0$ या $x = 1$। आवश्यक क्षेत्रफल समाकलन द्वारा प्राप्त होता है: $A = \int_{0}^{1} (y_1 - y_2) dx = \int_{0}^{1} [(\sin^{-1} x + x - x^2) - (\sin^{-1} x - x + x^2)] dx$ $A = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx = 2 \int_{0}^{1} (x - x^2) dx$ $A = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3}$.

प्रथम चतुर्थांश में वक्रों $y=\sin ^{-1} x+x(1-x)$ और $y=\sin ^{-1} x-x(1-x)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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