શિરોબિંદુઓ $(1,2,0)$,$(1,0,2)$ અને $(0,3,1)$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ધારો કે $\theta$ એ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,જ્યાં $|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=3$ અને $\theta \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)$. તો $|(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b})|^{2} + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\bar{a} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ હોય,તો $\bar{a} \times (\bar{a} \times (\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b})))$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\bar{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$,$\bar{b} = 3 \hat{i} - \hat{j} + \beta \hat{k}$,અને $\bar{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ જ્યાં $\alpha, \beta \in R$,ત્રણ સદિશો છે. જો $\bar{a}$ નો $\bar{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{10}{3}$ હોય અને $\bar{b} \times \bar{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$ હોય,તો $(\alpha + \beta)$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો $a=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$b=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ અને $c=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$ હોય,તો $a$ અને $b$ બંનેને લંબ એકમ સદિશનો $c$ પરનો પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{OA}=2 \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}=6 \overrightarrow{a}+5 \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{OC}=3 \overrightarrow{b}$,જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ છે. જો $\overrightarrow{OA}$ અને $\overrightarrow{OC}$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $15$ ચોરસ એકમ હોય,તો ચતુષ્કોણ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?