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Question

(A) शीर्ष (vertex) केबल के सबसे निचले बिंदु पर है। निर्देशांक तल का मूल बिंदु परवलय के शीर्ष के रूप में लिया जाता है,जबकि इसकी ऊर्ध्वाधर धुरी को धनात्

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$9.11$

Vedclass · Answer

(A) शीर्ष (vertex) केबल के सबसे निचले बिंदु पर है। निर्देशांक तल का मूल बिंदु परवलय के शीर्ष के रूप में लिया जाता है,जबकि इसकी ऊर्ध्वाधर धुरी को धनात्मक $y-$ अक्ष के साथ लिया जाता है।यहाँ,$AB$ और $OC$ क्रमशः केबल से जुड़े सबसे लंबे और सबसे छोटे तार हैं। $DF$ सड़क से जुड़ा सहायक तार है,जो मध्य से $18 \, m$ दूर है।यहाँ,$AB = 30 \, m$,$OC = 6 \, m$,और $BC = \frac{100}{2} = 50 \, m$.परवलय का समीकरण $x^{2} = 4ay$ के रूप में है (क्योंकि यह ऊपर की ओर खुल रहा है)।बिंदु $A$ के निर्देशांक $(50, 30-6) = (50, 24)$ हैं।चूंकि $A(50, 24)$ परवलय पर एक बिंदु है,$(50)^{2} = 4a(24)$.$\Rightarrow a = \frac{50 	imes 50}{4 	imes 24} = \frac{625}{24}$.$	herefore$ परवलय का समीकरण $x^{2} = 4 	imes \frac{625}{24} 	imes y$ है,जो $6x^{2} = 625y$ के रूप में सरल होता है।बिंदु $D$ का $x-$ निर्देशांक $18$ है।अतः,$x = 18$ पर,$6(18)^{2} = 625y$.$\Rightarrow y = \frac{6 	imes 324}{625} = \frac{1944}{625} = 3.1104 \, m$.$	herefore DE = 3.11 \, m$ (लगभग)।$DF = DE + EF = 3.11 \, m + 6 \, m = 9.11 \, m$.इस प्रकार,मध्य से $18 \, m$ दूर सड़क से जुड़े सहायक तार की लंबाई लगभग $9.11 \, m$ है।

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$x$ में द्विघात समीकरण $(k^2 - 15k + 27)x^2 + 9(k-1)x + 18 = 0$ का एक मूल दूसरे का दोगुना है। तो परवलय $y^2 = 6kx$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई क्या होगी?

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