समतल vec{r} cdot(2 hat{i}+3 hat{j}-4 hat{k})= | vedclass

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Question

(B) दिया गया समतल $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})=1$ है। इसे कार्तीय रूप में बदलने पर, हमें $2 x+3 y-4 z=1$ प्राप्त होता है, या $2 x+3 y

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$2 x+3 y-4 z=1 \pm 2 \sqrt{29}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समतल $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})=1$ है। इसे कार्तीय रूप में बदलने पर, हमें $2 x+3 y-4 z=1$ प्राप्त होता है, या $2 x+3 y-4 z-1=0$। इस समतल के समांतर कोई भी समतल $2 x+3 y-4 z+\lambda=0$ के रूप में होता है। दो समांतर समतलों $Ax+By+Cz+D_1=0$ और $Ax+By+Cz+D_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है। यहाँ, $d=2$, $A=2$, $B=3$, $C=-4$, $D_1=-1$, और $D_2=\lambda$ है। अतः, $2 = \frac{|\lambda-(-1)|}{\sqrt{2^2+3^2+(-4)^2}} = \frac{|\lambda+1|}{\sqrt{4+9+16}} = \frac{|\lambda+1|}{\sqrt{29}}$। इसका अर्थ है $|\lambda+1| = 2 \sqrt{29}$, इसलिए $\lambda+1 = \pm 2 \sqrt{29}$, जिसका अर्थ है $\lambda = -1 \pm 2 \sqrt{29}$। $\lambda$ का मान $2 x+3 y-4 z+\lambda=0$ में रखने पर, हमें $2 x+3 y-4 z-1 \pm 2 \sqrt{29} = 0$ प्राप्त होता है, या $2 x+3 y-4 z = 1 \mp 2 \sqrt{29}$। चूंकि विकल्पों में $1 \pm 2 \sqrt{29}$ दिया गया है, इसलिए सही समीकरण $2 x+3 y-4 z = 1 \pm 2 \sqrt{29}$ है।

समतल $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})=1$ के समांतर और उससे $2$ इकाई की दूरी पर स्थित समतल का कार्तीय समीकरण है

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