વર્તુળ C_1: x^2+y^2=3,જેનું કેન્દ્ર O છે,તે પ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A, B, C) વર્તુળ $x^2+y^2=3$ અને પરવલય $x^2=2y$ છે. $x^2=2y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા $2y+y^2=3$ મળે,તેથી $y^2+2y-3=0$,જેના અવયવો $(y+3)(y-1)=0$ થા

Vedclass · Accepted Answer

$A, B, D$

Vedclass · Answer

(A, B, C) વર્તુળ $x^2+y^2=3$ અને પરવલય $x^2=2y$ છે. $x^2=2y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા $2y+y^2=3$ મળે,તેથી $y^2+2y-3=0$,જેના અવયવો $(y+3)(y-1)=0$ થાય. $P$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી $y=1$ અને $x^2=2(1)=2$,તેથી $x=\sqrt{2}$. આમ,$P \equiv (\sqrt{2}, 1)$.$(\sqrt{2}, 1)$ આગળ $x^2+y^2=3$ નો સ્પર્શક $\sqrt{2}x + y = 3$ છે. આ રેખા $L$ છે. $L$ નો ઢાળ $m = -\sqrt{2}$ છે.ધારો કે $	heta$ એ રેખા $L$ દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે,તેથી $	an 	heta = -\sqrt{2}$. રેખા $L$ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટે $	an \alpha = |\cot 	heta| = \frac{1}{|	an 	heta|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.ધારો કે $T$ એ $L$ અને $y$-અક્ષનું છેદબિંદુ છે. $\sqrt{2}x+y=3$ માં $x=0$ મૂકતા $T \equiv (0, 3)$ મળે.ત્રિજ્યા $r=2\sqrt{3}$ વાળા વર્તુળો $C_2, C_3$ માટે જે $L$ ને $R_2, R_3$ પર સ્પર્શે છે અને કેન્દ્રો $Q_2, Q_3$ $y$-અક્ષ પર છે,અંતર $Q_3T = \frac{r}{\sin \alpha}$. $	an \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$. તેથી $Q_3T = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 6$. $Q_2, Q_3$ એ $T$ ની સાપેક્ષે $y$-અક્ષ પર સંમિત હોવાથી,$Q_2Q_3 = 2 	imes 6 = 12$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).$R_3T = \frac{r}{	an \alpha} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$. તેથી $R_2R_3 = 2 	imes 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).$O(0,0)$ થી $L$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|3|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. $	riangle OR_2R_3$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{પાયો} 	imes 	ext{વેધ} = \frac{1}{2} 	imes (4\sqrt{6}) 	imes \sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).$	riangle PQ_2Q_3$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{પાયો} 	imes 	ext{વેધ} = \frac{1}{2} 	imes (Q_2Q_3) 	imes |x_P| = \frac{1}{2} 	imes 12 	imes \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. (વિકલ્પ $D$ ખોટો છે).

Similar Questions

જો બિંદુ $P(a, b/2)$ માંથી વર્તુળ $2(x^2 + y^2) - 2ax - by = 0$ $(a \ne 0, b \ne 0)$ પર બે જીવાઓ દોરી શકાય,જે દરેક $x$-અક્ષ દ્વારા દુભાગતી હોય,તો:

$3x - 4y + 1 = 0$ અને $4x + 3y - 7 = 0$ રેખાઓને સ્પર્શતા અને $(2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોના સમીકરણો છે:

વર્તુળ $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ અને પરવલય $y^2 = 4x$ ને $X$-અક્ષની ઉપર સ્પર્શતી સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ છે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module