જો બિંદુ $P(a, b/2)$ માંથી વર્તુળ $2(x^2 + y^2) - 2ax - by = 0$ $(a \ne 0, b \ne 0)$ પર બે જીવાઓ દોરી શકાય,જે દરેક $x$-અક્ષ દ્વારા દુભાગતી હોય,તો:

ધારો કે $C$ એ વર્તુળ $x^2+(y-1)^2=2$ છે. ધારો કે $E_1$ અને $E_2$ બે ઉપવલયો છે જેના કેન્દ્રો ઉગમબિંદુ પર છે અને મુખ્ય અક્ષો અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પર છે. ધારો કે સીધી રેખા $x+y=3$ એ વક્રો $C$,$E_1$ અને $E_2$ ને અનુક્રમે $P(x_1, y_1)$,$Q(x_2, y_2)$ અને $R(x_3, y_3)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. જો $P$ એ રેખાખંડ $QR$ નું મધ્યબિંદુ હોય અને $PQ = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ હોય,તો $9(x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)$ ની કિંમત . . . . . . છે.

રેખા $x=2y$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ને બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. $PQ$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળનું સમીકરણ શું થાય?

જો વર્તુળો $x^2+y^2=9$ અને $x^2+y^2-8x-6y+n^2=0$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$ ને બરાબર બે સામાન્ય સ્પર્શકો હોય,તો $n$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી થાય?

વર્તુળ $x^2+y^2-4x-8y+7=0$ પરના બિંદુ $A(-1, 2)$ આગળનો સ્પર્શક,વર્તુળ $x^2+y^2+4x+6y=0$ ને $B$ આગળ સ્પર્શે છે. તો $AB$ નું ત્રિ-ભાગ બિંદુ કયું છે?

વક્રો $y^2+x^2=a^2 \sqrt{2}$ અને $x^2-y^2=a^2$ વચ્ચેનો છેદકોણ શોધો.