समतलों के एक युग्म के लिए संयुक्त समीकरण S eq | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $S = 2 x^2 - 6 y^2 - 12 z^2 + 18 y z + 2 z x + x y = 0$ है। द्विघात रूप का गुणनखंड करने पर, हमें $S = (x + 2 y - 2 z)(2 x - 3 y +

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$\cos ^{-1}\left(\frac{16}{21}\right)$

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(A) दिया गया समीकरण $S = 2 x^2 - 6 y^2 - 12 z^2 + 18 y z + 2 z x + x y = 0$ है। द्विघात रूप का गुणनखंड करने पर, हमें $S = (x + 2 y - 2 z)(2 x - 3 y + 6 z) = 0$ प्राप्त होता है। अतः, दो समतल $P_1: x + 2 y - 2 z = 0$ और $P_2: 2 x - 3 y + 6 z = 0$ हैं। इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 2, -2)$ और $\vec{n_2} = (2, -3, 6)$ हैं। समतलों के बीच का कोण $	heta$, $\cos 	heta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है। अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (2)(-3) + (-2)(6) = 2 - 6 - 12 = -16$. परिमाणों की गणना करने पर: $|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$ और $|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7$. इसलिए, $\cos 	heta = \frac{|-16|}{3 	imes 7} = \frac{16}{21}$. अतः, न्यून कोण $	heta = \cos ^{-1}\left(\frac{16}{21}ight)$ है।

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