समीकरण x^3+b x^2+c x+d=0 का एक मूल अन्य दो मू | vedclass

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Question

(C) माना समीकरण $x^3+b x^2+c x+d=0$ के मूल $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta+\gamma=-b$ है।दी गई शर्त के

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$8 d+b^3=4 b c$

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(C) माना समीकरण $x^3+b x^2+c x+d=0$ के मूल $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta+\gamma=-b$ है।दी गई शर्त के अनुसार,एक मूल अन्य दो मूलों के योग के बराबर है,इसलिए माना $\alpha=\beta+\gamma$ है।इसे मूलों के योग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha+\alpha=-b$,जिसका अर्थ है $2\alpha=-b$ या $\alpha=-\frac{b}{2}$।चूंकि $\alpha$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह $x^3+b x^2+c x+d=0$ को संतुष्ट करेगा।$x=-\frac{b}{2}$ रखने पर: $\left(-\frac{b}{2}\right)^3+b\left(-\frac{b}{2}\right)^2+c\left(-\frac{b}{2}\right)+d=0$।$-\frac{b^3}{8}+\frac{b^3}{4}-\frac{b c}{2}+d=0$।पूरे समीकरण को $8$ से गुणा करने पर: $-b^3+2b^3-4bc+8d=0$।$b^3-4bc+8d=0$,जो सरल होकर $b^3+8d=4bc$ हो जाता है।अतः,विकल्प $C$ सही है।

समीकरण $x^3+b x^2+c x+d=0$ का एक मूल अन्य दो मूलों के योग के बराबर होने के लिए क्या शर्त होनी चाहिए?

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