वक्र $y=x^2-1$ और $y=8x-x^2-9$:

यदि वक्र $y = x^3 - 3x^2 - 8x - 4$ और $y = 3x^2 + 7x + 4$ एक-दूसरे को बिंदु $P$ पर स्पर्श करते हैं,तो $P$ पर उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

वक्र $y^2 = x$ पर किस बिंदु पर स्पर्श रेखा $x-$ अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है?

यदि वक्र $y=x^{3}$ के बिंदु $P(t, t^{3})$ पर खींची गई स्पर्श रेखा वक्र को पुनः $Q$ पर मिलती है,तो $PQ$ को $1:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु का कोटि (ordinate) ज्ञात कीजिए।

वक्र $y^3 + 3x^2 = 12y$ के लिए किस बिंदु पर स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर (vertical) है?

मान लीजिए $a$ एक निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्या है और $n$ एक स्वेच्छ अचर है। वक्र $y = \frac{x^n}{a^{n-1}}$ के लिए, यदि किसी बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर अभिलंब की लंबाई (subnormal) $a^2$ के समानुपाती है, तो $n =$