अवकल समीकरण y(x) = 1 + frac{dy}{dx} + frac{1} | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y = 1 + \frac{dy}{dx} + \frac{1}{2!} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{1}{3!} \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + \dots$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y = 1 + \frac{dy}{dx} + \frac{1}{2!} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{1}{3!} \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + \dots$ मान लीजिए $t = \frac{dy}{dx}$। श्रेणी का विस्तार $y = 1 + t + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \dots$ है। यह $e^t$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार है,इसलिए $y = e^t$। $t = \frac{dy}{dx}$ वापस रखने पर,हमें $y = e^{\frac{dy}{dx}}$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(y) = \frac{dy}{dx}$। अब अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \ln(y)$ के रूप में है। यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,और इसकी घात $1$ है। अतः,अवकल समीकरण की घात $1$ है।

अवकल समीकरण $y(x) = 1 + \frac{dy}{dx} + \frac{1}{2!} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{1}{3!} \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + \dots$ की घात (degree) है

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अवकल समीकरण $\sqrt[4]{\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^5} = \sqrt[3]{\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^4}$ की कोटि और घात क्रमशः . . . . . . और . . . . . . हैं।

तृतीय कोटि के अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या . . . . . . होती है।

अवकल समीकरण $\left[\frac{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right]^2 = kx$ की

अवकल समीकरण $3 - (\frac{d^3y}{dx^3})^{7/3} = (\frac{dy}{dx})^5$ की कोटि और घात क्रमशः हैं

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