sin ^{-1}left(frac{sqrt{1+x}+sqrt{1-x}}{2}rig | vedclass

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Question

(A) माना $y = \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2}ight)$ और $u = \cos ^{-1} x$ है। $x = \cos 	heta$ रखें,जहाँ $	heta = \cos ^{-1} x$ है

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $y = \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2}ight)$ और $u = \cos ^{-1} x$ है। $x = \cos 	heta$ रखें,जहाँ $	heta = \cos ^{-1} x$ है। तब,$\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2} = \frac{\sqrt{1+\cos 	heta}+\sqrt{1-\cos 	heta}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cos ^{2} \frac{	heta}{2}}+\sqrt{2 \sin ^{2} \frac{	heta}{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cos \frac{	heta}{2} + \sqrt{2} \sin \frac{	heta}{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{	heta}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{	heta}{2}$ है। $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{	heta}{2} + \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{	heta}{2} = \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{	heta}{2}ight)$ प्राप्त होता है। अतः,$y = \sin ^{-1} \left(\sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{	heta}{2}ight)ight) = \frac{\pi}{4} + \frac{	heta}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} u$ है। अब,$y$ का $u$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} uight) = \frac{1}{2}$।

$\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2}\right)$ का $\cos ^{-1} x$ के सापेक्ष अवकलज क्या है?

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