x=frac{pi}{2} पर cos x के सापेक्ष (log x)^{si | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = (\log x)^{\sin x}$ और $g(x) = \cos x$ है। हमें $\frac{df}{dg} = \frac{f'(x)}{g'(x)}$ ज्ञात करना है। $f(x)$ का प्राकृतिक लघुगणक लेने प

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$\frac{-2}{\pi}$

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(C) माना $f(x) = (\log x)^{\sin x}$ और $g(x) = \cos x$ है। हमें $\frac{df}{dg} = \frac{f'(x)}{g'(x)}$ ज्ञात करना है। $f(x)$ का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log(f(x)) = \sin x \cdot \log(\log x)$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{f(x)} f'(x) = \cos x \cdot \log(\log x) + \sin x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$। अतः, $f'(x) = (\log x)^{\sin x} \left[ \cos x \cdot \log(\log x) + \frac{\sin x}{x \log x} \right]$। साथ ही, $g'(x) = -\sin x$ है। इसलिए, $\frac{df}{dg} = \frac{(\log x)^{\sin x} [ \cos x \cdot \log(\log x) + \frac{\sin x}{x \log x} ]}{-\sin x}$। $x = \frac{\pi}{2}$ पर, $\sin x = 1$, $\cos x = 0$, और $\log x = \log(\frac{\pi}{2})$ है। इन मानों को रखने पर: $\frac{df}{dg} = \frac{(\log(\frac{\pi}{2}))^1 [ 0 \cdot \log(\log(\frac{\pi}{2})) + \frac{1}{(\frac{\pi}{2}) \log(\frac{\pi}{2})} ]}{-1}$। $= - \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}$।

$x=\frac{\pi}{2}$ पर $\cos x$ के सापेक्ष $(\log x)^{\sin x}$ का अवकलज क्या है?

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