वह अवकल समीकरण जिसका व्यापक हल y=c(x-c)^2 (c | vedclass

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Question

(B) दिया गया व्यापक हल $y = c(x - c)^2$ है। चरण $1$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y' = 2c(x - c)$। चरण $2$: मूल समीकरण से,$c = \frac{y}{(x - c)^2}$।

Vedclass · Accepted Answer

$(y')^3 = 4y(xy' - 2y)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया व्यापक हल $y = c(x - c)^2$ है। चरण $1$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y' = 2c(x - c)$। चरण $2$: मूल समीकरण से,$c = \frac{y}{(x - c)^2}$। वैकल्पिक रूप से,$y' = 2c(x - c)$ से,$c = \frac{y'}{2(x - c)}$। $c$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{y}{(x - c)^2} = \frac{y'}{2(x - c)} \implies 2y = y'(x - c) \implies x - c = \frac{2y}{y'}$। चरण $3$: $x - c$ का मान $y'$ के व्यंजक में रखने पर: $y' = 2c \left(\frac{2y}{y'}\right) \implies c = \frac{(y')^2}{4y}$। चरण $4$: $c$ और $x - c$ का मान मूल समीकरण $y = c(x - c)^2$ में रखने पर: $y = \left(\frac{(y')^2}{4y}\right) \left(\frac{2y}{y'}\right)^2 = y$। अवकल समीकरण प्राप्त करने के लिए,$c = x - \frac{2y}{y'}$ का उपयोग करते हुए: $y' = 2(x - \frac{2y}{y'})(\frac{2y}{y'}) = \frac{4y(xy' - 2y)}{(y')^2}$। अतः,$(y')^3 = 4y(xy' - 2y)$। इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

वह अवकल समीकरण जिसका व्यापक हल $y=c(x-c)^2$ ($c$ एक स्वेच्छ अचर है) है,वह है

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