$T = 2\pi / n$ के दिए गए आवर्तकाल वाली सभी $Simple \ Harmonic \ Motions$ (सरल आवर्त गति) के विस्थापन का अवकल समीकरण क्या है?

मान लीजिए कि $\Gamma$ एक वक्र $y = y(x)$ को दर्शाता है जो प्रथम चतुर्थांश में है और बिंदु $(1,0)$ उस पर स्थित है। मान लीजिए कि बिंदु $P$ पर $\Gamma$ की स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $Y_p$ पर काटती है। यदि $\Gamma$ पर प्रत्येक बिंदु $P$ के लिए $PY_p$ की लंबाई $1$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $y=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)-\sqrt{1-x^2}$
$(2)$ $xy^{\prime}+\sqrt{1-x^2}=0$
$(3)$ $y=-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)+\sqrt{1-x^2}$
$(4)$ $xy^{\prime}-\sqrt{1-x^2}=0$

एक वस्तु न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार $15$ मिनट में $100^{\circ} C$ से $60^{\circ} C$ तक ठंडी हो जाती है। यदि परिवेश का तापमान $20^{\circ} C$ है,तो एक घंटे तक ठंडी होने के बाद वस्तु का तापमान क्या होगा ($^{\circ} C$ में)?

एक गोलाकार वर्षा की बूंद अपने पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती दर से वाष्पित होती है। यदि प्रारंभ में इसकी त्रिज्या $3 \ mm$ है और $1 \ second$ बाद यह घटकर $2 \ mm$ हो जाती है,तो किसी भी समय $t$ पर इसकी त्रिज्या क्या होगी (जहाँ $0 \leq t < 3$)?

जनसंख्या की वृद्धि वर्तमान संख्या के समानुपाती है। यदि किसी कॉलोनी की जनसंख्या $50$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है,तो जनसंख्या . . . . . . वर्षों में तीन गुनी हो जाएगी।

एक रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $h$ दिन है। इसकी प्रारंभिक क्षय दर (decay rate) क्या होगी? (जहाँ रेडियोधर्मी पदार्थ का प्रारंभिक द्रव्यमान $m_0$ है)।