वक्रों के कुल y=e^{x}(A cos x+B sin x) का अवक | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $y = e^{x}(A \cos x + B \sin x)$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y' = e^{x}(A \cos x + B \sin x) + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$ $y

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$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+2 y=0$

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(B) दिया गया समीकरण: $y = e^{x}(A \cos x + B \sin x)$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y' = e^{x}(A \cos x + B \sin x) + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$ $y' = y + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$ पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y'' = y' + [e^{x}(-A \sin x + B \cos x) + e^{x}(-A \cos x - B \sin x)]$ प्रथम अवकलज से, हम जानते हैं कि $e^{x}(-A \sin x + B \cos x) = y' - y$। इस मान को द्वितीय अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर: $y'' = y' + (y' - y) - e^{x}(A \cos x + B \sin x)$ चूंकि $y = e^{x}(A \cos x + B \sin x)$, इसलिए: $y'' = 2y' - y - y$ $y'' - 2y' + 2y = 0$ अतः, अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} + 2 y = 0$ है।

वक्रों के कुल $y=e^{x}(A \cos x+B \sin x)$ का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए, जहाँ $A, B$ स्वेच्छ अचर हैं।

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$xy = ae^x + be^{-x}$ से स्वेच्छ अचर $a$ और $b$ को विलुप्त करके प्राप्त अवकल समीकरण है

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