समतल x + 2y - 3z + 4 = 0 के अभिलंब की दिक्कोज | vedclass

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Question

(A) समतल का समीकरण $x + 2y - 3z + 4 = 0$ है। इसे व्यापक रूप $Ax + By + Cz + D = 0$ से तुलना करने पर,अभिलंब के दिक्-अनुपात $(A, B, C) = (1, 2, -3)$ प्र

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$-\frac{1}{\sqrt{14}}, -\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$

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(A) समतल का समीकरण $x + 2y - 3z + 4 = 0$ है। इसे व्यापक रूप $Ax + By + Cz + D = 0$ से तुलना करने पर,अभिलंब के दिक्-अनुपात $(A, B, C) = (1, 2, -3)$ प्राप्त होते हैं। अभिलंब सदिश का परिमाण $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ है। दिक्कोज्याएँ $(l, m, n)$ सूत्र $\pm \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \pm \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \pm \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती हैं। ऋणात्मक चिह्न लेने पर,हमें $l = -\frac{1}{\sqrt{14}}$,$m = -\frac{2}{\sqrt{14}}$,और $n = -\frac{-3}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$ प्राप्त होता है। अतः,दिक्कोज्याएँ $(-\frac{1}{\sqrt{14}}, -\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}})$ हैं,जो विकल्प $A$ से मेल खाती हैं।

समतल $x + 2y - 3z + 4 = 0$ के अभिलंब की दिक्कोज्याएँ (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

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यदि समतल $2x - 5y + z = 8$ और $2\lambda x - 15y + \lambda z + 6 = 0$ एक-दूसरे के समांतर हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए:

तीन समतलों $P_{1}: 3x + 15y + 21z = 9$; $P_{2}: x - 3y - z = 5$; और $P_{3}: 2x + 10y + 14z = 5$ पर विचार करें। तो,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

बिंदु $(1, 2, 1)$ से गुजरने वाले और समतलों $x + 2y + 2z - 7 = 0$ तथा $3x + 3y + 2z - 5 = 0$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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