मूल बिंदु से गुजरने वाली तीन रेखाओं की दिक्-क | vedclass

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Question

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली तीन रेखाएं जिनकी दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$,$(l_2, m_2, n_2)$ और $(l_3, m_3, n_3)$ हैं,समतलीय होती हैं यदि वे एक ही तल

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$\left| \begin{array}{ccc} l_1 & n_1 & m_1 \ l_2 & n_2 & m_2 \ l_3 & n_3 & m_3 \end{array} ight| = 0$

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(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली तीन रेखाएं जिनकी दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$,$(l_2, m_2, n_2)$ और $(l_3, m_3, n_3)$ हैं,समतलीय होती हैं यदि वे एक ही तल में स्थित हों। चूंकि वे सभी मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरती हैं,इसलिए वे तभी समतलीय होंगी यदि उनके दिक्-कोसाइन का सारणिक शून्य हो।ऐसा इसलिए है क्योंकि रेखाएं समतलीय होती हैं यदि एक ऐसा गैर-शून्य अभिलंब सदिश $(l, m, n)$ मौजूद हो जो तीनों रेखाओं पर लंब हो।इस प्रकार,हमारे पास समीकरणों की प्रणाली है:$l l_1 + m m_1 + n n_1 = 0$$l l_2 + m m_2 + n n_2 = 0$$l l_3 + m m_3 + n n_3 = 0$एक गैर-शून्य हल $(l, m, n) 
eq (0, 0, 0)$ के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:$\left| \begin{array}{ccc} l_1 & m_1 & n_1 \ l_2 & m_2 & n_2 \ l_3 & m_3 & n_3 \end{array} ight| = 0$दूसरे और तीसरे स्तंभ को आपस में बदलने पर,सारणिक का चिह्न बदल जाता है,लेकिन यह शून्य ही रहता है:$-\left| \begin{array}{ccc} l_1 & n_1 & m_1 \ l_2 & n_2 & m_2 \ l_3 & n_3 & m_3 \end{array} ight| = 0$अतः,$\left| \begin{array}{ccc} l_1 & n_1 & m_1 \ l_2 & n_2 & m_2 \ l_3 & n_3 & m_3 \end{array} ight| = 0$ सही शर्त है।

मूल बिंदु से गुजरने वाली तीन रेखाओं की दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$,$(l_2, m_2, n_2)$ और $(l_3, m_3, n_3)$ हैं। रेखाएं समतलीय होंगी यदि

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यदि $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ दो रेखाओं की दिक्कोज्याएँ (direction cosines) हैं,तो $(l_1 m_2 - l_2 m_1)^2 + (m_1 n_2 - m_2 n_1)^2 + (n_1 l_2 - n_2 l_1)^2 + (l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2)^2 =$

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