वक्र x = 2cos t + 2tsin t, y = 2sin t - 2tcos | vedclass

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Question

(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण:$x = 2\cos t + 2t\sin t$$y = 2\sin t - 2t\cos t$सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:$\frac{dx}{dt} = -2\sin t

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$2$

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(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण:$x = 2\cos t + 2t\sin t$$y = 2\sin t - 2t\cos t$सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:$\frac{dx}{dt} = -2\sin t + 2(\sin t + t\cos t) = 2t\cos t$$\frac{dy}{dt} = 2\cos t - 2(\cos t - t\sin t) = 2t\sin t$अब,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t\sin t}{2t\cos t} = 	an t$$t = \frac{\pi}{4}$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $	an(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।इसलिए,अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{1} = -1$ है।$t = \frac{\pi}{4}$ पर बिंदु $(x, y)$ ज्ञात करें:$x = 2\cos(\frac{\pi}{4}) + 2(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$$y = 2\sin(\frac{\pi}{4}) - 2(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है:$y - (\sqrt{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{2}}) = -1(x - (\sqrt{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}}))$$x + y = 2\sqrt{2}$रेखा $Ax + By + C = 0$ की मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।यहाँ,$x + y - 2\sqrt{2} = 0$,इसलिए $A=1, B=1, C=-2\sqrt{2}$.$d = \frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$.

वक्र $x = 2\cos t + 2t\sin t, y = 2\sin t - 2t\cos t$ के लिए $t = \frac{\pi}{4}$ पर अभिलंब की मूल बिंदु से दूरी क्या है?

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