બે સમતલો $2x + 3y + 4z = 4$ અને $4x + 6y + 8z = 12$ વચ્ચેનું અંતર કેટલું છે?

ધારો કે $R^3$ એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ દર્શાવે છે. બે બિંદુઓ $P=(1, 2, 3)$ અને $Q=(4, 2, 7)$ લો. ધારો કે $\operatorname{dist}(X, Y)$ એ $R^3$ માં બે બિંદુઓ $X$ અને $Y$ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે. ધારો કે
$S=\{X \in R^3: (\operatorname{dist}(X, P))^2 - (\operatorname{dist}(X, Q))^2 = 50\}$
$T=\{Y \in R^3: (\operatorname{dist}(Y, Q))^2 - (\operatorname{dist}(Y, P))^2 = 50\}$
તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ એક એવો ત્રિકોણ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $1$ છે અને તેના બધા શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી છે.
$(B)$ $T$ માં બે અલગ બિંદુઓ $L$ અને $M$ છે જેથી રેખાખંડ $LM$ પરનું દરેક બિંદુ પણ $T$ માં હોય.
$(C)$ $48$ પરિમિતિ ધરાવતા અનંત લંબચોરસ છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી અને બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $T$ માંથી છે.
$(D)$ $48$ પરિમિતિ ધરાવતો એક ચોરસ છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી અને બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $T$ માંથી છે.

બિંદુ $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતા અને સમતલ $x + 2y + 5z = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શું છે?

ધારો કે બે સમતલો $P_1: 2x - y + z = 2$ અને $P_2: x + 2y - z = 3$ આપેલા છે. બિંદુ $(-1, 3, 2)$ માંથી પસાર થતા અને સમતલો $P_1$ અને $P_2$ બંનેને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે સમતલ $x+3y-2z+6=0$ એ યામ અક્ષોને બિંદુઓ $A, B, C$ માં મળે છે. જો ત્રિકોણ $ABC$ નું લંબકેન્દ્ર $\left(\alpha, \beta, \frac{6}{7}\right)$ હોય,તો $98(\alpha+\beta)^2$ ની કિંમત $........$ થાય.

$a, b, c$ ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમતલ પર ઉગમબિંદુથી દોરેલા લંબની લંબાઈ કેટલી થાય?