बिंदु $-\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ की उस सरल रेखा से दूरी ज्ञात कीजिए जो बिंदु $2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ से होकर गुजरती है और सदिश $6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ के समांतर है।

मान लीजिए कि $\lambda$ के वे मान जिनके लिए रेखाओं $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $\frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{1}{\sqrt{6}}$ है,$\lambda_1$ और $\lambda_2$ हैं। तो बिंदुओं $(0,0), (\lambda_1, \lambda_2)$ और $(\lambda_2, \lambda_1)$ से गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

दर्शाइए कि रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $\frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-0}{1}$ प्रतिच्छेद करती हैं। उनका प्रतिच्छेदन बिंदु भी ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक रेखा $L$, दोनों रेखाओं $L_1: \frac{x+1}{3} = \frac{y+3}{5} = \frac{z+5}{7}$ और $L_2: \frac{x-2}{1} = \frac{y-4}{4} = \frac{z-6}{7}$ के लंबवत है। यदि $\theta$, रेखाओं $L$ और $L_3: \frac{x-7}{2} = \frac{y-7}{1} = \frac{z}{2}$ के बीच का न्यून कोण है, तो $\tan \theta$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि रेखाओं $L_1: \vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ और $L_2: \vec{r}=(4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k})+\mu(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी वाली रेखा $L_1$ और $L_2$ को क्रमशः $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है। यदि $(\alpha, \beta, \gamma)$ रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु है,तो $2(\alpha+\beta+\gamma)$ का मान . . . . . . है।

सिद्ध कीजिए कि जिन सरल रेखाओं की दिक्-कोसाइन $2l + 2m - n = 0$ और $mn + nl + lm = 0$ द्वारा दी गई हैं,वे समकोण पर हैं।