मान लीजिए कि lambda के वे मान जिनके लिए रेखाओ | vedclass

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Question

(A) रेखाएं $\vec{r_1} = (1, 2, 3) + t(2, 3, 4)$ और $\vec{r_2} = (\lambda, 4, 5) + s(3, 4, 5)$ द्वारा दी गई हैं।दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \

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$\frac{5 \sqrt{2}}{3}$

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(A) रेखाएं $\vec{r_1} = (1, 2, 3) + t(2, 3, 4)$ और $\vec{r_2} = (\lambda, 4, 5) + s(3, 4, 5)$ द्वारा दी गई हैं।दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} 	imes \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}|}$ है।यहाँ,$\vec{b_1} 	imes \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 3 & 4 \ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.इसका परिमाण $|\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}| = \sqrt{6}$ है।$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\lambda-1, 2, 2)$.न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\lambda-1)(-1) + 2(2) + 2(-1)|}{\sqrt{6}} = \frac{|3-\lambda|}{\sqrt{6}}$.दिया गया है कि $d = \frac{1}{\sqrt{6}}$,इसलिए $|3-\lambda| = 1$,जिससे $\lambda = 4$ या $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।अतः,$\lambda_1 = 4$ और $\lambda_2 = 2$.हमें $(0,0), (4,2)$ और $(2,4)$ से गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करनी है।त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = 6$ है।भुजाओं की लंबाई $OA = \sqrt{20}, OB = \sqrt{20}, AB = \sqrt{8}$ है।त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{8}}{4 \cdot 6} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$.

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