बिंदु $A(3, -4, 5)$ की समतल $2x + 5y - 6z = 16$ से रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-2}$ की दिशा में मापी गई दूरी क्या है?

मान लीजिए कि समतल $P : 8x + \alpha_1 y + \alpha_2 z + 12 = 0$ रेखा $L : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{5}$ के समांतर है। यदि $P$ का $y$-अक्ष पर अंतःखंड $1$ है,तो $P$ और $L$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

यदि $\lambda_1 < \lambda_2$,$\lambda$ के दो ऐसे मान हैं कि समतलों $P_1: \vec{r} \cdot (3 \hat{i} - 5 \hat{j} + \hat{k}) = 7$ और $P_2: \vec{r} \cdot (\lambda \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) = 9$ के बीच का कोण $\sin^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}\right)$ है,तो बिंदु $(38 \lambda_1, 10 \lambda_2, 2)$ से समतल $P_1$ पर डाले गए लंब की लंबाई का वर्ग $...........$ है।

मान लीजिए कि रेखाएँ $L_1: \vec{r}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}+\lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})$, $\lambda \in R$ और $L_2: \vec{r}=(4\hat{i}+\hat{j})+\mu(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$, $\mu \in R$, बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। मान लीजिए $P$ और $Q$ क्रमशः रेखाओं $L_1$ और $L_2$ पर स्थित बिंदु हैं, इस प्रकार कि $|\overrightarrow{PR}|=\sqrt{29}$ और $|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{\frac{47}{3}}$ है। यदि बिंदु $P$ प्रथम अष्टांश (first octant) में स्थित है, तो $27(QR)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$i + 2j - k$ बिंदु से गुजरने वाले और $r \cdot (3i - j + k) = 1$ तथा $r \cdot (i + 4j - 2k) = 2$ समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

समतलों $\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k})=3$ और $\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k})=5$ के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा बिंदु $\overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।