अंग्रेजी वर्णमाला में $5$ स्वर और $21$ व्यंजन हैं। वर्णमाला से $2$ अलग-अलग स्वरों और $2$ अलग-अलग व्यंजनों वाले कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

$22$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों की एक टीम का चयन किया जाना है। यदि $2$ विशिष्ट खिलाड़ियों को हर टीम में शामिल किया जाना है और $4$ विशिष्ट खिलाड़ियों को हमेशा बाहर रखा जाना है,तो यह चयन कितने तरीकों से किया जा सकता है?

$9$ छात्रों के एक समूह $s_1, s_2, \ldots, s_9$ को क्रमशः $2, 3$ और $4$ के आकार की तीन टीमों $X, Y$ और $Z$ में विभाजित किया जाना है। मान लीजिए कि $s_1$ को टीम $X$ के लिए नहीं चुना जा सकता है,और $s_2$ को टीम $Y$ के लिए नहीं चुना जा सकता है। तो ऐसी टीमें बनाने के तरीकों की संख्या है:

$^nC_r + ^nC_{r-1}$ किसके बराबर है?

यदि ${}^n C_r$ $n$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को एक साथ लेने के संयोजनों की संख्या को दर्शाता है,तो व्यंजक ${}^n C_{r+1} + {}^n C_{r-1} + 2{}^n C_r$ किसके बराबर है?

$8$ सज्जनों और $4$ महिलाओं में से $6$ सदस्यों की एक समिति इस प्रकार बनाई जानी है कि समिति में कम से कम $3$ महिलाएं हों,तो यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?