समीकरण $\overline{b}z + b\overline{z} = c$,जहाँ $b$ एक शून्येतर सम्मिश्र स्थिरांक है और $c$ वास्तविक है,क्या दर्शाता है?

यदि चार सम्मिश्र संख्याएँ $z$,$\overline{z}$,$\overline{z}-2 \operatorname{Re}(\overline{z})$ और $z-2 \operatorname{Re}(z)$ आर्गंड समतल में $4$ इकाई भुजा वाले एक वर्ग के शीर्षों को निरूपित करती हैं,तो $|z|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $\frac{z - 1}{z + 1}$ शुद्ध काल्पनिक है,तो

माना बिंदु $P = \alpha + i\beta$,जहाँ $\alpha, \beta > 0$,आर्गंड समतल पर क्रमिक रूप से निम्नलिखित तीन रूपांतरणों से गुजरता है:
$(I)$ $\text{amp}(z) = \frac{\pi}{4}$ के सापेक्ष परावर्तन
$(II)$ वास्तविक अक्ष की धनात्मक दिशा में $\beta$ इकाई दूरी का स्थानांतरण
$(III)$ मूल बिंदु के परितः वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घूर्णन
यदि बिंदु की अंतिम स्थिति $Q = -\sqrt{2} + i\sqrt{6}$ है,तो:

मान लीजिए $z_{1}$ और $z_{2}$ दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $\arg(z_{1}-z_{2})=\frac{\pi}{4}$ और $z_{1}, z_{2}$ समीकरण $|z-3|=\operatorname{Re}(z)$ को संतुष्ट करते हैं। तो $z_{1}+z_{2}$ का काल्पनिक भाग ..... के बराबर है।

यदि $|z_1| = 2$,$|z_2| = 3$,$|z_3| = 4$ और $|2z_1 + 3z_2 + 4z_3| = 9$ है,तो $|8z_2z_3 + 27z_3z_1 + 64z_1z_2|$ का मान किसके बराबर है?