समीकरण frac{x^2}{a} + frac{xy}{h} + frac{y^2} | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a} + \frac{xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ है। $abh$ से गुणा करने पर,हमें $bhx^2 + abxy + ahy^2 = 0$ प्राप्त होता है। रेखा

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$4h^2 = ab$

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(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a} + \frac{xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ है। $abh$ से गुणा करने पर,हमें $bhx^2 + abxy + ahy^2 = 0$ प्राप्त होता है। रेखाओं के संपाती होने के लिए,समीकरण को $(px + qy)^2 = 0$ के रूप में होना चाहिए,जो $p^2x^2 + 2pqxy + q^2y^2 = 0$ है। दोनों समीकरणों के गुणांकों की तुलना करने पर: $\frac{bh}{p^2} = \frac{ab}{2pq} = \frac{ah}{q^2} = k$ (स्थिरांक)। $\frac{bh}{p^2} = \frac{ah}{q^2}$ से,हमें $\frac{b}{p^2} = \frac{a}{q^2}$ $\Rightarrow \frac{q^2}{p^2} = \frac{a}{b}$ $\Rightarrow \frac{q}{p} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ प्राप्त होता है। $\frac{ab}{2pq} = \frac{bh}{p^2}$ से,हमें $\frac{a}{2q} = \frac{h}{p} \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{2h}{a}$ प्राप्त होता है। अनुपातों की तुलना करने पर: $\sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{2h}{a}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{b}{a} = \frac{4h^2}{a^2}$ $\Rightarrow b = \frac{4h^2}{a}$ $\Rightarrow ab = 4h^2$। अतः,संपाती रेखाओं के लिए शर्त $4h^2 = ab$ है।

समीकरण $\frac{x^2}{a} + \frac{xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ $(a \neq 0, h \neq 0, b \neq 0)$ दो संपाती रेखाओं को दर्शाता है यदि:

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बिंदु $(1, 2)$ से गुजरने वाली और सरल रेखाओं के युग्म $3x^2 - 8xy + 5y^2 = 0$ पर लंबवत रेखाओं का युग्म है:

यदि समीकरण $\lambda x^{2} + 2y^{2} - 5xy + 5x - 7y + 3 = 0$ सरल रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है,तो $\lambda = \dots$

यदि $lx^2+3xy-2y^2-5x+5y+k=0$ परस्पर लंब रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है,तो

उन रेखाओं का संयुक्त समीकरण क्या है जिनकी प्रवणता (inclination) $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{5 \pi}{6}$ है,और जो मूल बिंदु (origin) से होकर गुजरती हैं?

यदि समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं में से एक का ढाल दूसरी रेखा के ढाल का $\lambda$ गुना है,तो:

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