समीकरण sin x(sin x+cos x)=k के वास्तविक हल है | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = \sin x(\sin x + \cos x) = \sin^2 x + \sin x \cos x$. सर्वसमिकाओं $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ और $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{

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$\frac{1-\sqrt{2}}{2} \leq k \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}$

Vedclass · Answer

(D) माना $f(x) = \sin x(\sin x + \cos x) = \sin^2 x + \sin x \cos x$. सर्वसमिकाओं $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ और $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ का उपयोग करने पर: $f(x) = \frac{1-\cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(\sin 2x - \cos 2x)$. हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $	heta$ के लिए, $-\sqrt{a^2+b^2} \leq a \sin 	heta + b \cos 	heta \leq \sqrt{a^2+b^2}$. $\sin 2x - \cos 2x$ के लिए, $a=1, b=-1$ लेने पर, $-\sqrt{1^2+(-1)^2} \leq \sin 2x - \cos 2x \leq \sqrt{1^2+(-1)^2}$, जो सरल होकर $-\sqrt{2} \leq \sin 2x - \cos 2x \leq \sqrt{2}$ हो जाता है। $2$ से भाग देने पर, $-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \frac{\sin 2x - \cos 2x}{2} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$. सभी पदों में $\frac{1}{2}$ जोड़ने पर: $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sin 2x - \cos 2x}{2} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$. अतः, $\frac{1-\sqrt{2}}{2} \leq f(x) \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}$. चूंकि $f(x) = k$, इसलिए $k$ का परिसर $\frac{1-\sqrt{2}}{2} \leq k \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}$ है।

समीकरण $\sin x(\sin x+\cos x)=k$ के वास्तविक हल हैं, जहाँ $k$ एक वास्तविक संख्या है। तब,

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