જે વક્રનો કોઈપણ બિંદુએ ઢાળ y+2x હોય તેવા વક્ર | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = y + 2x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ $\frac{dy}{dx} - y = 2x$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. સંકલ

Vedclass · Accepted Answer

$y=2(e^x-x-1)$

Vedclass · Answer

(B) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = y + 2x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ $\frac{dy}{dx} - y = 2x$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે. બંને બાજુ $e^{-x}$ વડે ગુણતા, આપણને $e^{-x} \frac{dy}{dx} - y e^{-x} = 2x e^{-x}$ મળે છે. આને $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = 2x e^{-x}$ તરીકે લખી શકાય છે. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $y e^{-x} = \int 2x e^{-x} dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int 2x e^{-x} dx = 2x(-e^{-x}) - \int 2(-e^{-x}) dx = -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C$. તેથી, $y e^{-x} = -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C$. $e^x$ વડે ગુણતા, આપણને $y = -2x - 2 + C e^x$ મળે છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતા વક્ર માટે, $0 = 0 - 2 + C(1) \Rightarrow C = 2$. આમ, $y = 2e^x - 2x - 2 = 2(e^x - x - 1)$.

જે વક્રનો કોઈપણ બિંદુએ ઢાળ $y+2x$ હોય તેવા વક્રનું સમીકરણ કયું છે?

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(2x \ln x) \frac{dy}{dx} + 2y = \frac{3}{x} \ln x$,$x > 0$ અને $y(e^{-1}) = 0$ નો ઉકેલ છે. તો,$y(e)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{2xy}{1 - x^2} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) + (x - e^{\tan^{-1} y}) \frac{dx}{dy} = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{2x + 1}{x} \right)y = e^{-2x}, x > 0$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module