उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वृत्त x^2+y | vedclass

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Question

(C) अभिलंबों का समीकरण $x^2-3xy-3x+9y=0$ है। इसका गुणनखंड करने पर,$x(x-3y)-3(x-3y)=0$,जिसका अर्थ है $(x-3y)(x-3)=0$। अतः,दो अभिलंब $x-3y=0$ और $x=3$ ह

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$x^2+y^2-6x-2y+1=0$

Vedclass · Answer

(C) अभिलंबों का समीकरण $x^2-3xy-3x+9y=0$ है। इसका गुणनखंड करने पर,$x(x-3y)-3(x-3y)=0$,जिसका अर्थ है $(x-3y)(x-3)=0$। अतः,दो अभिलंब $x-3y=0$ और $x=3$ हैं। वृत्त का केंद्र इन दो अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है: $x=3$ और $x=3y$,जिससे $y=1$ प्राप्त होता है। अतः,अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(3,1)$ है। दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x+6y+17=0$ है। इसका केंद्र $(3,-3)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2+(-3)^2-17} = \sqrt{9+9-17} = \sqrt{1} = 1$ है। चूँकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है: $r_1+r_2 = \sqrt{(3-3)^2+(1-(-3))^2} = \sqrt{0^2+4^2} = 4$। $r_1=1$ रखने पर,$1+r_2=4$,जिससे $r_2=3$ प्राप्त होता है। केंद्र $(3,1)$ और त्रिज्या $3$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-3)^2+(y-1)^2=3^2$ है। इसका विस्तार करने पर,$x^2-6x+9+y^2-2y+1=9$,जो सरल होकर $x^2+y^2-6x-2y+1=0$ हो जाता है।

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