वृत्त $x^{2}+y^{2}=2$ और परवलय $y^{2}=8x$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $x+y=k$ है। तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S$,$xy$-समतल में $x^2+y^2=4$ समीकरण द्वारा परिभाषित वृत्त है।
$(1)$ मान लीजिए $E_1, E_2$ और $F_1, F_2$ वृत्त $S$ की जीवाएँ हैं जो बिंदु $P_0(1,1)$ से गुजरती हैं और क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के समानांतर हैं। मान लीजिए $G_1, G_2$ वृत्त $S$ की जीवा है जो $P_0$ से गुजरती है और जिसका ढाल $-1$ है। मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ पर वृत्त $S$ की स्पर्श रेखाएँ $E_3$ पर मिलती हैं,$F_1$ और $F_2$ पर स्पर्श रेखाएँ $F_3$ पर मिलती हैं,और $G_1$ और $G_2$ पर स्पर्श रेखाएँ $G_3$ पर मिलती हैं। तो,बिंदु $E_3, F_3$ और $G_3$ किस वक्र पर स्थित हैं?
$(A)$ $x+y=4$ $(B)$ $(x-4)^2+(y-4)^2=16$ $(C)$ $(x-4)(y-4)=4$ $(D)$ $xy=4$
$(2)$ मान लीजिए $P$ वृत्त $S$ पर एक बिंदु है जिसके दोनों निर्देशांक धनात्मक हैं। मान लीजिए $P$ पर वृत्त $S$ की स्पर्श रेखा निर्देशांक अक्षों को $M$ और $N$ बिंदुओं पर काटती है। तो,रेखाखंड $MN$ का मध्य-बिंदु किस वक्र पर स्थित होना चाहिए?
$(A)$ $(x+y)^2=3xy$ $(B)$ $x^{2/3}+y^{2/3}=2^{4/3}$ $(C)$ $x^2+y^2=2xy$ $(D)$ $x^2+y^2=x^2y^2$

दिया गया है: एक वृत्त $2x^2 + 2y^2 = 5$ और एक परवलय $y^2 = 4\sqrt{5}x$ है।
कथन-$1$: इन वक्रों के लिए एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $y = x + \sqrt{5}$ है।
कथन-$2$: यदि रेखा $y = mx + \frac{\sqrt{5}}{m} (m \neq 0)$ उनकी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है,तो $m$,$m^4 - 3m^2 + 2 = 0$ को संतुष्ट करता है।

यदि परवलय $y^2 = 16x$ की नाभि से वृत्त $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ पर एक स्पर्श रेखा खींची जाती है,तो इस स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ पर खींची गई कोई स्पर्श रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = \alpha^2$ को स्पर्श करती है,तो $\alpha$ का परिसर क्या है?

मान लीजिए $P(3 \cos \alpha, 2 \sin \alpha)$, $\alpha \neq 0$, दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर एक बिंदु है, $Q$ वृत्त $x^2 + y^2 - 14x - 14y + 82 = 0$ पर एक बिंदु है और $R$ रेखा $x + y = 5$ पर एक बिंदु है, इस प्रकार कि त्रिभुज $PQR$ का केंद्रक $(2 + \cos \alpha, 3 + \frac{2}{3} \sin \alpha)$ है। तो सभी संभावित बिंदुओं $R$ के कोटियों (ordinates) का योग क्या है?