मान लीजिए S,xy-समतल में x^2+y^2=4 समीकरण द्वा | vedclass

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Question

(A,D) $(1)$ वृत्त $x^2+y^2=4$ है। बिंदु $P_0(1,1)$ वृत्त के अंदर स्थित है।$x$-अक्ष के समानांतर जीवा $E_1E_2$ के लिए,$y=1$ है। वृत्त के समीकरण में रखने

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(A,D) $(1)$ वृत्त $x^2+y^2=4$ है। बिंदु $P_0(1,1)$ वृत्त के अंदर स्थित है।$x$-अक्ष के समानांतर जीवा $E_1E_2$ के लिए,$y=1$ है। वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2+1=4 \implies x^2=3 \implies x=\pm\sqrt{3}$। अतः $E_1(-\sqrt{3}, 1)$ और $E_2(\sqrt{3}, 1)$ हैं।$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा $xx_1+yy_1=4$ है। $E_1, E_2$ पर स्पर्श रेखाएँ $-x\sqrt{3}+y=4$ और $x\sqrt{3}+y=4$ हैं। हल करने पर $E_3(0, 4)$ प्राप्त होता है।$y$-अक्ष के समानांतर जीवा $F_1F_2$ के लिए,$x=1$ है। वृत्त के समीकरण में रखने पर: $1+y^2=4 \implies y^2=3 \implies y=\pm\sqrt{3}$। अतः $F_1(1, \sqrt{3})$ और $F_2(1, -\sqrt{3})$ हैं।$F_1, F_2$ पर स्पर्श रेखाएँ $x+y\sqrt{3}=4$ और $x-y\sqrt{3}=4$ हैं। हल करने पर $F_3(4, 0)$ प्राप्त होता है।$P_0(1,1)$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली जीवा $G_1G_2$ के लिए,रेखा $y-1=-1(x-1) \implies x+y=2$ है। $x^2+y^2=4$ के साथ प्रतिच्छेदन: $x^2+(2-x)^2=4 \implies 2x^2-4x=0 \implies x=0, 2$। अतः $G_1(0, 2)$ और $G_2(2, 0)$ हैं।$G_1(0, 2)$ पर स्पर्श रेखा $y=2$ है। $G_2(2, 0)$ पर स्पर्श रेखा $x=2$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $G_3(2, 2)$ है।बिंदु $E_3(0, 4), F_3(4, 0), G_3(2, 2)$ सभी $x+y=4$ को संतुष्ट करते हैं। सही विकल्प $(A)$ है।$(2)$ मान लीजिए $P(2\cos	heta, 2\sin	heta)$ है। स्पर्श रेखा $x\cos	heta+y\sin	heta=2$ है। अंतःखंड $M(2/\cos	heta, 0)$ और $N(0, 2/\sin	heta)$ हैं।मध्य-बिंदु $(h, k) = (1/\cos	heta, 1/\sin	heta)$ है।अतः $\cos	heta=1/h$ और $\sin	heta=1/k$ है। चूँकि $\cos^2	heta+\sin^2	heta=1$ है,हमारे पास $1/h^2+1/k^2=1 \implies h^2+k^2=h^2k^2$ है।बिंदुपथ $x^2+y^2=x^2y^2$ है। सही विकल्प $(D)$ है।

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माना रेखा $x-y+1=0$ वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को दो बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। यदि $AB$ वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ का व्यास है,तो $g+f=$

उन वृत्तों के केंद्रों का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जिनके लिए बिंदु $(2, 3)$ जीवा $5x + 2y = 16$ का मध्य बिंदु है:

यदि परवलय $y^2 = 16x$ की नाभि से वृत्त $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ पर एक स्पर्श रेखा खींची जाती है,तो इस स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

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