बिंदु $(1,0)$ से गुजरने वाली और $x$-अक्ष के समानांतर न होने वाली एक सीधी रेखा वक्र $2x^2+5y^2-7x=0$ को दो बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। मूल बिंदु पर रेखाखंड $AB$ द्वारा अंतरित कोण है ($^\circ$ में)

विभिन्न वास्तविक शून्येतर संख्याओं $x_1, x_2, x_3$ और $x_4$ के लिए,मान लीजिए कि बिंदु $(x_1, \frac{1}{x_1}), (x_2, \frac{1}{x_2}), (x_3, \frac{1}{x_3})$ और $(x_4, \frac{1}{x_4})$ त्रिज्या $4$ वाले एक वृत्त की परिधि पर स्थित हैं। तो,$x_1 x_2 x_3 x_4$ का मान है

रेखा $x - y = 3$ के सापेक्ष वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$ के सममित वृत्त का समीकरण है

वृत्त $x^2+y^2=4$ पर बिंदु $P(\sqrt{3}, 1)$ पर एक स्पर्शरेखा $PT$ खींची गई है। एक सीधी रेखा $L$,जो $PT$ के लंबवत है,वृत्त $(x-3)^2+y^2=1$ की स्पर्शरेखा है।
$1.$ दोनों वृत्तों की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है:
$(A)$ $x=4$ $(B)$ $y=2$ $(C)$ $x+\sqrt{3} y=4$ $(D)$ $x+2 \sqrt{2} y=6$
$2.$ $L$ का एक संभावित समीकरण है:
$(A)$ $x-\sqrt{3} y=1$ $(B)$ $x+\sqrt{3} y=1$ $(C)$ $x-\sqrt{3} y=-1$ $(D)$ $x+\sqrt{3} y=5$

यदि वृत्तों $x^2+y^2=9$ और $x^2+y^2-8x-6y+n^2=0$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ के ठीक दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं,तो $n$ के मानों की संख्या है

दिए गए अनुच्छेद में दी गई जानकारी के आधार पर सूचियों का उचित मिलान करके निम्नलिखित का उत्तर दें।
मान लीजिए कि वृत्त $C_1: x^2+y^2=9$ और $C_2: (x-3)^2+(y-4)^2=16$ बिंदुओं $X$ और $Y$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए कि एक अन्य वृत्त $C_3: (x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:
$(i)$ $C_3$ का केंद्र $C_1$ और $C_2$ के केंद्रों के साथ संरेख है।
$(ii)$ $C_1$ और $C_2$ दोनों $C_3$ के अंदर स्थित हैं।
$(iii)$ $C_3$,$C_1$ को $M$ पर और $C_2$ को $N$ पर स्पर्श करता है।
मान लीजिए कि $X$ और $Y$ से गुजरने वाली रेखा $C_3$ को $Z$ और $W$ पर प्रतिच्छेद करती है,और मान लीजिए कि $C_1$ और $C_3$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा,परवलय $x^2=8 \alpha y$ की स्पर्श रेखा है।
$List-I$ में कुछ व्यंजक दिए गए हैं जिनके मान नीचे $List-II$ में दिए गए हैं:

$List-I$	$List-II$
$(I) \ 2h + k$	$(P) \ 6$
$(II) \ \frac{\text{Length of } ZW}{\text{Length of } XY}$	$(Q) \ \sqrt{6}$
$(III) \ \frac{\text{Area of triangle } MZN}{\text{Area of triangle } ZMW}$	$(R) \ \frac{5}{4}$
$(IV) \ \alpha$	$(S) \ \frac{21}{5}$
	$(T) \ 2\sqrt{6}$
	$(U) \ \frac{10}{3}$

$(1)$ निम्नलिखित में से कौन सा एकमात्र गलत संयोजन है?
$(1) (IV), (S) \quad (2) (IV), (U) \quad (3) (III), (R) \quad (4) (I), (P)$
$(2)$ निम्नलिखित में से कौन सा एकमात्र सही संयोजन है?
$(1) (II), (T) \quad (2) (I), (S) \quad (3) (I), (U) \quad (4) (II), (Q)$