रेखा $x - y = 3$ के सापेक्ष वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$ के सममित वृत्त का समीकरण है

वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ पर स्थित एक बिंदु से वृत्त $x^2 + y^2 = b^2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा,वृत्त $x^2 + y^2 = c^2$ को स्पर्श करती है,तो $a, b, c$ किसमें हैं?

$a$ के मानों का वह परिसर ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु $(a, 0)$ से वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ को संतुष्ट करता है:

रेखा $x\sqrt{5} + 2y = 3\sqrt{5}$ और वृत्त $x^2 + y^2 = 10$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने पर बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है

दो वक्रों $C_1: y^2=4x$ और $C_2: x^2+y^2-6x+1=0$ पर विचार करें। तो,

मान लीजिए $S$,$xy$-समतल में $x^2+y^2=4$ समीकरण द्वारा परिभाषित वृत्त है।
$(1)$ मान लीजिए $E_1, E_2$ और $F_1, F_2$ वृत्त $S$ की जीवाएँ हैं जो बिंदु $P_0(1,1)$ से गुजरती हैं और क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के समानांतर हैं। मान लीजिए $G_1, G_2$ वृत्त $S$ की जीवा है जो $P_0$ से गुजरती है और जिसका ढाल $-1$ है। मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ पर वृत्त $S$ की स्पर्श रेखाएँ $E_3$ पर मिलती हैं,$F_1$ और $F_2$ पर स्पर्श रेखाएँ $F_3$ पर मिलती हैं,और $G_1$ और $G_2$ पर स्पर्श रेखाएँ $G_3$ पर मिलती हैं। तो,बिंदु $E_3, F_3$ और $G_3$ किस वक्र पर स्थित हैं?
$(A)$ $x+y=4$ $(B)$ $(x-4)^2+(y-4)^2=16$ $(C)$ $(x-4)(y-4)=4$ $(D)$ $xy=4$
$(2)$ मान लीजिए $P$ वृत्त $S$ पर एक बिंदु है जिसके दोनों निर्देशांक धनात्मक हैं। मान लीजिए $P$ पर वृत्त $S$ की स्पर्श रेखा निर्देशांक अक्षों को $M$ और $N$ बिंदुओं पर काटती है। तो,रेखाखंड $MN$ का मध्य-बिंदु किस वक्र पर स्थित होना चाहिए?
$(A)$ $(x+y)^2=3xy$ $(B)$ $x^{2/3}+y^{2/3}=2^{4/3}$ $(C)$ $x^2+y^2=2xy$ $(D)$ $x^2+y^2=x^2y^2$