$2x - 5y + z = 3; x + y + 4z = 5$ રેખાને સમાવતા અને $x + 3y + 6z = 1$ સમતલને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $P$ એ $(1,0,1), (1,-2,1)$ અને $(0,1,-2)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું સમતલ છે. ધારો કે સદિશ $\vec{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ એવું છે કે જેથી $\vec{a}$ એ સમતલ $P$ ને સમાંતર છે,$(\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$ ને લંબ છે અને $\vec{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) = 2$ છે,તો $(\alpha - \beta + \gamma)^2$ ની કિંમત શોધો.

રેખા $\frac{x - 6}{-1} = \frac{y + 1}{0} = \frac{z + 3}{4}$ અને સમતલ $x + y - z = 3$ જ્યાં મળે છે તે બિંદુના યામ શોધો.

બિંદુઓ $\hat{i}-\hat{j}$ અને $\hat{j}-\hat{k}$ માંથી પસાર થતી રેખા અને બિંદુઓ $2 \hat{i}+\hat{j}$, $2 \hat{j}-\hat{k}$, અને $\hat{i}+2 \hat{k}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું છેદબિંદુ શોધો.

જો રેખા $2(x + 1) = y = z + 4$ અને સમતલ $2x - \sqrt{\lambda} z + 4 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો રેખા $x = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{\lambda}$ અને સમતલ $x + 2y + 3z = 4$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.