समतलों pi_1: 2x + 6y + 4z - 7 = 0 और pi_2: x | vedclass

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Question

(C) समतलों $\pi_1 = 0$ और $\pi_2 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $\pi_1 + \lambda \pi_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है। दिए ग

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$6x + 2y - 4z - 15 = 0$

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(C) समतलों $\pi_1 = 0$ और $\pi_2 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $\pi_1 + \lambda \pi_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है। दिए गए समतलों का मान रखने पर: $(2x + 6y + 4z - 7) + \lambda(x - y - 2z - 2) = 0$ $(2 + \lambda)x + (6 - \lambda)y + (4 - 2\lambda)z - (7 + 2\lambda) = 0 \quad \dots(i)$ चूंकि यह समतल, समतल $x + y + 2z - 5 = 0$ के लंबवत है, इसलिए उनके अभिलंब सदिशों का डॉट गुणनफल शून्य होगा। अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2 + \lambda, 6 - \lambda, 4 - 2\lambda)$ और $\vec{n_2} = (1, 1, 2)$ हैं। $(2 + \lambda)(1) + (6 - \lambda)(1) + (4 - 2\lambda)(2) = 0$ $2 + \lambda + 6 - \lambda + 8 - 4\lambda = 0$ $16 - 4\lambda = 0 \implies \lambda = 4$. समीकरण $(i)$ में $\lambda = 4$ रखने पर: $(2 + 4)x + (6 - 4)y + (4 - 8)z - (7 + 8) = 0$ $6x + 2y - 4z - 15 = 0$.

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$k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ समतल $2x-4y+z=7$ में स्थित है:

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