રેખાઓ $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{2}$ અને $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{-4} = \frac{z}{5}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

રેખા $\bar{r} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} + \lambda(\hat{i} - 2\hat{j})$ અને સમતલ $\bar{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 4$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

રેખા $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ ને સમાવતા અને રેખાઓ $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ અને $\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો:

ધારો કે રેખાઓ $L_{1}: \overrightarrow{r} = \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}), \lambda \in R$ અને $L_{2}: \overrightarrow{r} = (\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k}), \mu \in R$ બિંદુ $S$ પર છેદે છે. જો સમતલ $ax + by - z + d = 0$ એ $S$ માંથી પસાર થાય અને બંને રેખાઓ $L_{1}$ અને $L_{2}$ ને સમાંતર હોય,તો $a + b + d$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે બિંદુ $A(4, 3, 1)$ માંથી સમતલ $P: x - y + 2z + 3 = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $N$ છે. જો $B(5, \alpha, \beta)$,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$,એ સમતલ $P$ પરનું બિંદુ હોય અને ત્રિકોણ $ABN$ નું ક્ષેત્રફળ $3\sqrt{2}$ હોય,તો $\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta$ ની કિંમત $...........$ થાય.

ધારો કે $P(2,1,5)$ અવકાશમાં એક બિંદુ છે અને $Q$ એ રેખા $\vec{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})+\mu(-3\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k})$ પરનું એક બિંદુ છે. તો $\mu$ ની કઈ કિંમત માટે સદિશ $\vec{PQ}$ એ સમતલ $3x-y+4z=1$ ને સમાંતર થાય?