एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और AC के समीकरण क | vedclass

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Question

(B) भुजाओं के समीकरण $AB: (\lambda+1)x + \lambda y = 4$ और $AC: \lambda x + (1-\lambda)y + \lambda = 0$ हैं।चूंकि शीर्ष $A$,$y$-अक्ष पर स्थित है,हम $A

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$2 \sqrt{2}$

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(B) भुजाओं के समीकरण $AB: (\lambda+1)x + \lambda y = 4$ और $AC: \lambda x + (1-\lambda)y + \lambda = 0$ हैं।चूंकि शीर्ष $A$,$y$-अक्ष पर स्थित है,हम $A$ का $y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए दोनों समीकरणों में $x=0$ रखते हैं।$AB$ के लिए,$y = 4/\lambda$. $AC$ के लिए,$y = \lambda/(\lambda-1)$.इन्हें बराबर करने पर,$4/\lambda = \lambda/(\lambda-1)$ $\Rightarrow 4\lambda - 4 = \lambda^2$ $\Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0$ $\Rightarrow (\lambda-2)^2 = 0$ $\Rightarrow \lambda = 2$.$\lambda=2$ प्रतिस्थापित करने पर,$AB: 3x + 2y = 4$ और $AC: 2x - y + 2 = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$A(0,2)$ है।माना $C(\alpha, 2\alpha+2)$ है (क्योंकि $C$,$AC$ पर स्थित है)।लंबकेंद्र $H(1,2)$ शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $C$ से शीर्षलंब $AB$ के लंबवत है। $AB$ की ढाल $-3/2$ है,इसलिए $C$ से शीर्षलंब की ढाल $2/3$ है।$H(1,2)$ और $C(\alpha, 2\alpha+2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $(2\alpha+2-2)/(\alpha-1) = 2\alpha/(\alpha-1)$ है।$2\alpha/(\alpha-1) = 2/3$ $\Rightarrow 6\alpha = 2\alpha - 2$ $\Rightarrow 4\alpha = -2$ $\Rightarrow \alpha = -1/2$ रखने पर।अतः,$C(-1/2, 1)$ है।परवलय $y^2 = 6x$ है,इसलिए $4a = 6 \Rightarrow a = 3/2$. स्पर्श रेखा $y = mx + a/m = mx + 3/(2m)$ है।चूंकि स्पर्श रेखा $C(-1/2, 1)$ से गुजरती है,$1 = m(-1/2) + 3/(2m)$ $\Rightarrow 2 = -m + 3/m$ $\Rightarrow m^2 + 2m - 3 = 0$.$m$ के लिए हल करने पर,$(m+3)(m-1) = 0 \Rightarrow m = 1$ या $m = -3$.प्रथम चतुर्थांश के लिए,स्पर्श बिंदु $T(a/m^2, 2a/m) = (3/(2m^2), 3/m)$ है।$m=1$ के लिए,$T = (3/2, 3)$. दूरी $CT = \sqrt{(3/2 - (-1/2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

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रेखा $y = x$ और वक्र $y^2 = x - 2$ के बीच की न्यूनतम दूरी है

उस परवलय के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि $(1, -2)$ पर है और नियता (directrix) रेखा $x + y + 3 = 0$ है।

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