પદાવલિ frac{2^2+1}{2^2-1}+frac{3^2+1}{3^2-1}+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $S = \sum_{r=2}^{2011} \frac{r^2+1}{r^2-1}$.સામાન્ય પદ $T_r$ ને આ રીતે લખી શકાય:$T_r = \frac{r^2-1+2}{r^2-1} = 1 + \frac{2}{(r-1)(r+1)}$.આ

Vedclass · Accepted Answer

$\left(2011, 2011 \frac{1}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $S = \sum_{r=2}^{2011} \frac{r^2+1}{r^2-1}$.સામાન્ય પદ $T_r$ ને આ રીતે લખી શકાય:$T_r = \frac{r^2-1+2}{r^2-1} = 1 + \frac{2}{(r-1)(r+1)}$.આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:$T_r = 1 + \left(\frac{1}{r-1} - \frac{1}{r+1}\right)$.$r=2$ થી $2011$ સુધી સરવાળો કરતા:$S = \sum_{r=2}^{2011} 1 + \sum_{r=2}^{2011} \left(\frac{1}{r-1} - \frac{1}{r+1}\right)$.પ્રથમ ભાગ $\sum_{r=2}^{2011} 1 = 2010$ છે.બીજો ભાગ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:$\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2009} - \frac{1}{2011}\right) + \left(\frac{1}{2010} - \frac{1}{2012}\right)$.છેદ ઉડાડતા,આપણને મળે છે:$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2011} - \frac{1}{2012} = \frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right)$.આમ,$S = 2010 + 1.5 - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right) = 2011.5 - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right)$.કારણ કે $0 < \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right) < 1$,તેથી $S$ ની કિંમત $\left(2011, 2011 \frac{1}{2}\right)$ અંતરાલમાં આવે છે.

પદાવલિ $\frac{2^2+1}{2^2-1}+\frac{3^2+1}{3^2-1}+\frac{4^2+1}{4^2-1}+\ldots+\frac{(2011)^2+1}{(2011)^2-1}$ કયા અંતરાલમાં આવેલી છે?

Similar Questions

જો $\sum\limits_{n = 1}^5 {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{k}{3}} $ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

અનંત ગુણાકાર $\prod\limits_{n = 2}^\infty {\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}$ નું મૂલ્ય શું છે?

વિધાન-$1$: શ્રેણી $1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9) + (9 + 12 + 16) + \dots + (361 + 380 + 400)$ નો સરવાળો $8000$ છે.
વિધાન-$2$: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$\sum_{k=1}^n (k^3 - (k-1)^3) = n^3$.

જો $\frac{1}{2 \times 7} + \frac{1}{7 \times 12} + \frac{1}{12 \times 17} + \frac{1}{17 \times 22} + \dots$ $10$ પદો સુધી $= k$ હોય,તો $k =$

જો $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots (n \text{ પદો}) = \frac{k n}{4(n + 1)}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module