પદાવલિ $\tan 9^{\circ}-\tan 27^{\circ}-\tan 63^{\circ}+\tan 81^{\circ}$ ની કિંમત શોધો.

એક સંપૂર્ણ ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C$ છે. તેને એક નાના અવરોધક તારના કોઈલ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ કરવામાં આવે છે,જે $s$ વિશિષ્ટ ઉષ્મા અને $m$ દળ ધરાવતા બ્લોકમાં થર્મલી અલગ (thermally isolated) સ્થિતિમાં મૂકવામાં આવેલ છે. જો બ્લોકનું તાપમાન $\Delta T$ જેટલું વધે,તો શરૂઆતમાં કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ કેટલો હશે?

બે સમકેન્દ્રીય પોલા ગોળાકાર કવચની ત્રિજ્યા $r$ અને $R$ $(R \gg r)$ છે. તેમના પર $Q$ જેટલો વિદ્યુતભાર એવી રીતે વહેંચાયેલો છે કે જેથી તેમની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન રહે. કેન્દ્ર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન કેટલું હશે?

એક નદી પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ $5\ m/min$ ની ઝડપે વહી રહી છે. નદીના દક્ષિણ કાંઠે રહેલો એક માણસ,જે સ્થિર પાણીમાં $10\ m/min$ ની ઝડપે તરી શકે છે,તે નદીને સૌથી ઓછા સમયમાં પાર કરવા માંગે છે. તેણે કઈ દિશામાં તરવું જોઈએ?

વિકલ સમીકરણ $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

બે જોડી રેખાઓ $\lambda^2 x^2 - m^2 y^2 - n(\lambda x + m y) = 0$ અને $\lambda^2 x^2 - m^2 y^2 + n(\lambda x + m y) = 0$ દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?