$z = 70x + 50y$ को अधिकतम करने के लिए $L$.$P$.$P$. (रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या) का सुसंगत क्षेत्र (feasible region),जो प्रतिबंधों $8x + 5y \leq 60$,$4x + 5y \leq 40$ और $x \geq 0, y \geq 0$ के अधीन है,क्या है?

एक इलेक्ट्रॉनिक सर्किट निर्माता के पास $200$ प्रतिरोधक (resistors),$120$ ट्रांजिस्टर और $150$ संधारित्र (capacitors) का स्टॉक है और उसे दो प्रकार के सर्किट $A$ और $B$ बनाने हैं। प्रकार $A$ के लिए $20$ प्रतिरोधक,$10$ ट्रांजिस्टर और $10$ संधारित्र की आवश्यकता होती है। प्रकार $B$ के लिए $10$ प्रतिरोधक,$20$ ट्रांजिस्टर और $30$ संधारित्र की आवश्यकता होती है। यदि प्रकार $A$ सर्किट पर लाभ $Rs. 50$ है और प्रकार $B$ सर्किट पर लाभ $Rs. 60$ है,तो इस समस्या को $LPP$ के रूप में तैयार करें ताकि निर्माता अपने लाभ को अधिकतम कर सके।

$3x + 5y \leq 26$ और $5x + 3y \leq 30, x \geq 0, y \geq 0$ के अधीन $2x + y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

एक उत्पादन इकाई तांबे और पीतल को मिलाकर एक विशेष प्रकार की मेटल चिप बनाती है। चिप का मानक वजन कम से कम $5 \text{ gms}$ होना चाहिए। मूल सामग्री,यानी तांबा और पीतल,की लागत क्रमशः $₹8$ और $₹5$ प्रति $\text{gm}$ है। स्थायित्व संबंधी विचारों के अनुसार,मेटल चिप में $4 \text{ gms}$ से अधिक पीतल नहीं होना चाहिए और इसमें कम से कम $2 \text{ gms}$ तांबा होना चाहिए। तो,उपरोक्त शर्तों को पूरा करने वाली मेटल चिप की न्यूनतम लागत है:

$3x+2y \leq 18$,$x \leq 4$,$y \leq 6$ और $x, y \geq 0$ के अंतर्गत $Z=3x+5y$ का अधिकतम मान है

एक आहार विशेषज्ञ को दो खाद्य पदार्थों $P$ और $Q$ का उपयोग करके एक विशेष आहार विकसित करना है। खाद्य $P$ के प्रत्येक पैकेट ($30 \, g$ युक्त) में $12$ इकाई कैल्शियम,$4$ इकाई आयरन,$6$ इकाई कोलेस्ट्रॉल और $6$ इकाई विटामिन $A$ होता है। खाद्य $Q$ की समान मात्रा के प्रत्येक पैकेट में $3$ इकाई कैल्शियम,$20$ इकाई आयरन,$4$ इकाई कोलेस्ट्रॉल और $3$ इकाई विटामिन $A$ होता है। आहार में कम से कम $240$ इकाई कैल्शियम,कम से कम $460$ इकाई आयरन और अधिकतम $300$ इकाई कोलेस्ट्रॉल की आवश्यकता होती है। आहार में विटामिन $A$ की मात्रा को कम करने के लिए प्रत्येक भोजन के कितने पैकेट का उपयोग किया जाना चाहिए? विटामिन $A$ की न्यूनतम मात्रा क्या है?