वृत्त x^{2} + y^{2} = 1, z = 0 पर स्थित एक बि | vedclass

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Question

(B) माना वृत्त पर एक बिंदु $P(\cos 	heta, \sin 	heta, 0)$ है।माना $P$ से समतल $2x + 3y + z = 6$ पर लंब का पाद $Q(h, k, w)$ है।रेखा $PQ$ समतल के लंबव

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$(5x + 6y - 12)^{2} + 4(3x + 5y - 9)^{2} = 1, z = 6 - 2x - 3y$

Vedclass · Answer

(B) माना वृत्त पर एक बिंदु $P(\cos 	heta, \sin 	heta, 0)$ है।माना $P$ से समतल $2x + 3y + z = 6$ पर लंब का पाद $Q(h, k, w)$ है।रेखा $PQ$ समतल के लंबवत है,इसलिए इसके दिक अनुपात समतल के अभिलंब $(2, 3, 1)$ के समानुपाती हैं।अतः,$\frac{h - \cos 	heta}{2} = \frac{k - \sin 	heta}{3} = \frac{w - 0}{1} = \lambda$ है।चूँकि $Q(h, k, w)$ समतल $2x + 3y + z = 6$ पर स्थित है,इसलिए $2h + 3k + w = 6$ है।$h = \cos 	heta + 2\lambda$,$k = \sin 	heta + 3\lambda$,और $w = \lambda$ को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$2(\cos 	heta + 2\lambda) + 3(\sin 	heta + 3\lambda) + \lambda = 6$$2\cos 	heta + 3\sin 	heta + 14\lambda = 6 \implies \lambda = \frac{6 - 2\cos 	heta - 3\sin 	heta}{14}$ प्राप्त होता है।तब $h = \cos 	heta + 2\left(\frac{6 - 2\cos 	heta - 3\sin 	heta}{14}ight) = \frac{10\cos 	heta - 6\sin 	heta + 12}{14}$ है।$k = \sin 	heta + 3\left(\frac{6 - 2\cos 	heta - 3\sin 	heta}{14}ight) = \frac{5\sin 	heta - 6\cos 	heta + 18}{14}$ है।इसे सरल करने पर $5h + 6k = \cos 	heta + 12 \implies \cos 	heta = 5h + 6k - 12$ प्राप्त होता है।इसी प्रकार,$3h + 5k = \frac{\sin 	heta}{2} + 9 \implies \sin 	heta = 2(3h + 5k - 9)$ प्राप्त होता है।$\cos^{2} 	heta + \sin^{2} 	heta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $(5h + 6k - 12)^{2} + 4(3h + 5k - 9)^{2} = 1$ प्राप्त होता है।

वृत्त $x^{2} + y^{2} = 1, z = 0$ पर स्थित एक बिंदु से समतल $2x + 3y + z = 6$ पर डाले गए लंब का पाद निम्नलिखित में से किस वक्र पर स्थित है?

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