વિધેય f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b એવું છે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$. $f(2) = 0$ હોવાથી,$8 - 24 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 16$.$f(4) = 0$ હોવાથી,$64 - 96 + 4a + b = 0

Vedclass · Accepted Answer

$(S_1)$ અને $(S_2)$ બંને સાચા છે

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$. $f(2) = 0$ હોવાથી,$8 - 24 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 16$.$f(4) = 0$ હોવાથી,$64 - 96 + 4a + b = 0 \Rightarrow 4a + b = 32$.આ સમીકરણો ઉકેલતા,$a = 8, b = 0$ મળે. તેથી $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 8x$.$f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 12x + 8$. $f^{\prime}(x) = 0$ ના બીજ $x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{48}}{6} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.$(S_1)$ માટે: $f^{\prime}(2) = -4$ અને $f^{\prime}(4) = 8$. $f^{\prime}(x)$ સતત હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,એવું $x_{1} \in (2, 4)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(x_{1}) = -1$ થાય (કારણ કે $-1 \in (-4, 8)$). ઉપરાંત,$f^{\prime}(x)$ નું એક બીજ $x_{2} = 2 + \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 3.15 \in (2, 4)$ છે. $f^{\prime}(3) = 27 - 36 + 8 = -1$ હોવાથી,$x_{1} = 3 $(S_2)$ માટે: $f$ એ $(2, x_{4})$ પર ઘટતું અને $(x_{4}, 4)$ પર વધતું વિધેય છે જ્યાં $x_{4} = 2 + \frac{2}{\sqrt{3}}$. $f(x_{4}) = (2 + \frac{2}{\sqrt{3}})^{3} - 6(2 + \frac{2}{\sqrt{3}})^{2} + 8(2 + \frac{2}{\sqrt{3}}) = -\frac{16}{3\sqrt{3}}$.$2f^{\prime}(x_{3}) = \sqrt{3}f(x_{4}) = \sqrt{3}(-\frac{16}{3\sqrt{3}}) = -\frac{16}{3} \approx -5.33$. તેથી $f^{\prime}(x_{3}) = -\frac{8}{3} \approx -2.67$. $f^{\prime}(x)$ એ $(2, 4)$ પર $[-4, 8]$ ની તમામ કિંમતો ધારણ કરતું હોવાથી,આવું $x_{3}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી $(S_2)$ સાચું છે.

Similar Questions

$f(x)=4 \log _{e}(x-1)-2 x^{2}+4 x+5, x>1$,નીચેનામાંથી કયું સાચું નથી?

જો $f(x)=\sqrt{x+\sin x}$ હોય,તો ગણ $\{(x, f(x)) \mid f^{\prime}(x)=0\}$ ના તમામ બિંદુઓ શેના પર આવેલા છે?

જો $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},$ કોઈ $c > 0$ માટે,તો સાબિત કરો કે $\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}$ એ $a$ અને $b$ થી સ્વતંત્ર અચળ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module