फलन f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b इस प्रकार | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$। चूँकि $f(2) = 0$,$8 - 24 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 16$।चूँकि $f(4) = 0$,$64 - 96 + 4a + b =

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$(S_1)$ और $(S_2)$ दोनों सत्य हैं

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(A) दिया गया है $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$। चूँकि $f(2) = 0$,$8 - 24 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 16$।चूँकि $f(4) = 0$,$64 - 96 + 4a + b = 0 \Rightarrow 4a + b = 32$।इन्हें हल करने पर,$a = 8, b = 0$ प्राप्त होता है। अतः $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 8x$।$f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 12x + 8$। $f^{\prime}(x) = 0$ के मूल $x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{48}}{6} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ हैं।$(S_1)$ के लिए: $f^{\prime}(2) = -4$ और $f^{\prime}(4) = 8$। चूँकि $f^{\prime}(x)$ संतत है,मध्यमान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,ऐसा $x_{1} \in (2, 4)$ विद्यमान है कि $f^{\prime}(x_{1}) = -1$ (क्योंकि $-1 \in (-4, 8)$)। साथ ही,$f^{\prime}(x)$ का एक मूल $x_{2} = 2 + \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 3.15 \in (2, 4)$ है। चूँकि $f^{\prime}(3) = 27 - 36 + 8 = -1$,हमारे पास $x_{1} = 3 $(S_2)$ के लिए: $f$,$(2, x_{4})$ पर ह्रासमान है और $(x_{4}, 4)$ पर वर्धमान है जहाँ $x_{4} = 2 + \frac{2}{\sqrt{3}}$ है। $f(x_{4}) = (2 + \frac{2}{\sqrt{3}})^{3} - 6(2 + \frac{2}{\sqrt{3}})^{2} + 8(2 + \frac{2}{\sqrt{3}}) = -\frac{16}{3\sqrt{3}}$।$2f^{\prime}(x_{3}) = \sqrt{3}f(x_{4}) = \sqrt{3}(-\frac{16}{3\sqrt{3}}) = -\frac{16}{3} \approx -5.33$। अतः $f^{\prime}(x_{3}) = -\frac{8}{3} \approx -2.67$। चूँकि $f^{\prime}(x)$,$(2, 4)$ पर $[-4, 8]$ के सभी मान ग्रहण करता है,ऐसा $x_{3}$ विद्यमान है। अतः $(S_2)$ सत्य है।

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