फलन f:[0,3] rightarrow [1,29],जो f(x)=2x^3-15 | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन: $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1$,जहाँ $x \in [0, 3]$.चरण $1$: एकैकी (one-one) गुण की जाँच करें।अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 30x

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आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया फलन: $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1$,जहाँ $x \in [0, 3]$.चरण $1$: एकैकी (one-one) गुण की जाँच करें।अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x^2 - 5x + 6) = 6(x-2)(x-3)$.अंतराल $[0, 3]$ में $x=2$ पर $f'(x)$ का चिह्न बदलता है,इसलिए फलन एकदिष्ट (monotonic) नहीं है। अर्थात,$f(x)$ अंतराल $[0, 2]$ पर बढ़ता है और $[2, 3]$ पर घटता है। इसलिए,यह एकैकी नहीं है (बहु-एक है)।चरण $2$: आच्छादक (onto) गुण की जाँच करें।$[0, 3]$ पर $f(x)$ का परिसर (range) ज्ञात करें।$f(0) = 2(0)^3 - 15(0)^2 + 36(0) + 1 = 1$.$f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) + 1 = 16 - 60 + 72 + 1 = 29$.$f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) + 1 = 54 - 135 + 108 + 1 = 28$.चूँकि फलन $[0, 3]$ पर सतत है,इसका परिसर $[min(f(0), f(2), f(3)), max(f(0), f(2), f(3))] = [1, 29]$ है।यहाँ परिसर $[1, 29]$ सह-प्रांत (codomain) $[1, 29]$ के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।निष्कर्ष: फलन आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

फलन $f:[0,3] \rightarrow [1,29]$,जो $f(x)=2x^3-15x^2+36x+1$ द्वारा परिभाषित है,वह

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