फलन f(x) = frac{lambda sin x + 6 cos x}{2 sin | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 6 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}$ है।फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।भागफल नियम $\l

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$\lambda \geq 4$

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(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 6 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}$ है।फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके,हम $f'(x)$ की गणना करते हैं:$f'(x) = \frac{(\lambda \cos x - 6 \sin x)(2 \sin x + 3 \cos x) - (\lambda \sin x + 6 \cos x)(2 \cos x - 3 \sin x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$.अंश का विस्तार करने पर:अंश $= (2\lambda \sin x \cos x + 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x) - (2\lambda \sin x \cos x - 3\lambda \sin^2 x + 12 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x)$.अंश को सरल करने पर:अंश $= 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x + 3\lambda \sin^2 x - 12 \cos^2 x$.अंश $= 3\lambda(\sin^2 x + \cos^2 x) - 12(\sin^2 x + \cos^2 x) = 3\lambda - 12$.चूंकि हर $(2 \sin x + 3 \cos x)^2$ हमेशा धनात्मक है,$f'(x) \geq 0$ का अर्थ है कि $3\lambda - 12 \geq 0$.अतः,$3\lambda \geq 12$,जिससे हमें $\lambda \geq 4$ प्राप्त होता है।

फलन $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 6 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}$ वर्धमान है,यदि

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