f(x)=frac{x}{sqrt{1+x^2}} द्वारा परिभाषित फलन | vedclass

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Question

(C) एकैकी (injective) होने की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।$\frac{x_1}{\sqrt{1+x_1^2}} = \frac{x_2}{\sqrt{1+x_2^2}}$दोनों पक्षों का

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एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं

Vedclass · Answer

(C) एकैकी (injective) होने की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।$\frac{x_1}{\sqrt{1+x_1^2}} = \frac{x_2}{\sqrt{1+x_2^2}}$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{x_1^2}{1+x_1^2} = \frac{x_2^2}{1+x_2^2}$$x_1^2(1+x_2^2) = x_2^2(1+x_1^2)$$x_1^2 + x_1^2x_2^2 = x_2^2 + x_1^2x_2^2$$x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = x_2$ (चूँकि फलन निरंतर वर्धमान है,इसलिए $x_1 = x_2$)।अतः,$f$ एकैकी है।आच्छादक (surjective) होने की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ है।$y^2 = \frac{x^2}{1+x^2} \Rightarrow y^2(1+x^2) = x^2 \Rightarrow y^2 = x^2(1-y^2) \Rightarrow x^2 = \frac{y^2}{1-y^2}$.$x$ के वास्तविक होने के लिए,$1-y^2 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $y^2 फलन $f$ का परिसर $(-1, 1)$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है।इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R \rightarrow R$ ........ है।

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