फलन f(x) = x cdot e^{x(1-x)} है | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = x \cdot e^{x-x^2}$ है।वर्धमान या ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।गुणन नियम और श्रृंखला नियम

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$\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ में वर्धमान

Vedclass · Answer

(A) दिया गया फलन $f(x) = x \cdot e^{x-x^2}$ है।वर्धमान या ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$.$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x(1-2x)] = e^{x-x^2} (1 + x - 2x^2)$.द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $1 + x - 2x^2 = -(2x^2 - x - 1) = -(2x+1)(x-1) = (2x+1)(1-x)$.अतः,$f'(x) = e^{x-x^2} (2x+1)(1-x)$.फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{x-x^2} > 0$,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $(2x+1)(1-x)$ पर निर्भर करता है।$(2x+1)(1-x) \geq 0$ का अर्थ है $-\frac{1}{2} \leq x \leq 1$.इस प्रकार,फलन अंतराल $\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ में वर्धमान है।

फलन $f(x) = x \cdot e^{x(1-x)}$ है

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