फलन f: R rightarrow R जो f(x)=frac{x}{sqrt{1+ | vedclass

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Question

(C) एकैकी (injective) की जाँच करने के लिए, मान लीजिए $x_1, x_2 \in R$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$.$\frac{x_1}{\sqrt{1+x_1^2}} = \frac{x_2}{\sqrt{1+x_2^2}

Vedclass · Accepted Answer

एकैकी (injective) है लेकिन आच्छादक नहीं

Vedclass · Answer

(C) एकैकी (injective) की जाँच करने के लिए, मान लीजिए $x_1, x_2 \in R$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$.$\frac{x_1}{\sqrt{1+x_1^2}} = \frac{x_2}{\sqrt{1+x_2^2}}$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$\frac{x_1^2}{1+x_1^2} = \frac{x_2^2}{1+x_2^2}$$x_1^2(1+x_2^2) = x_2^2(1+x_1^2)$$x_1^2 + x_1^2x_2^2 = x_2^2 + x_1^2x_2^2$$x_1^2 = x_2^2$चूँकि $f'(x) = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} > 0$ सभी $x \in R$ के लिए, फलन निरंतर वर्धमान है।इसलिए, $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$. अतः, $f$ एकैकी है।आच्छादक (surjective) की जाँच करने के लिए, मान लीजिए $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.चूँकि $x^2 अतः, फलन का परिसर $(-1, 1)$ है, जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है।इसलिए, $f$ आच्छादक नहीं है।अतः, फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

$A$. $f: R \rightarrow R$, $f(x) = \cos(112x - 37)$ द्वारा परिभाषित	$I$. एकैकी (Injection) लेकिन आच्छादक (Surjection) नहीं
$B$. $f: A \rightarrow B$, $f(x) = x\|x\|$ द्वारा परिभाषित, जहाँ $A = [-2, 2]$ और $B = [-4, 4]$	$II$. आच्छादक लेकिन एकैकी नहीं
$C$. $f: R \rightarrow R$, $f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$ द्वारा परिभाषित	$III$. एकैकी और आच्छादक (Bijection)
$D$. $f: N \rightarrow N$, $f(n) = n+1$ द्वारा परिभाषित	$IV$. न तो एकैकी और न ही आच्छादक
	$V$. संयुक्त फलन

फलन $f: R \rightarrow R$ जो $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ द्वारा परिभाषित है, वह है

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